Question

已知一元二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，其中一個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，0），且當(dāng)0＜x＜c時(shí)，恒有f（x）＞0．
（1）當(dāng)a=1，c=

1

2

時(shí)，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為8，求a的取值范圍；
（4）若不等式m²-2km+1+b+ac≥0對(duì)所有k∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1，c=

1

2

時(shí)，f(x)=x2+bx+

1

2

，f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，由此能求出 f（x）＜0的解集．
（2）f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，由f（c）=0，設(shè)另一個(gè)根為x₂，由此能求出f（x）＜0的解集．
（3）由（2）的f（x）的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(c，0)，(

1

a

，0)，(0，c)，這三交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為S=

1

2

(

1

a

-c)c=8，由此能求出a的取值范圍．
（4）由f（c）=0，知ac²+bc+c=0，由c＞0，知ac+b+1=0，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：（本小題滿分（14分），（1）（2）小題每題（3分），（3）（4）小題每題4分）
解：（1）當(dāng)a=1，c=

1

2

時(shí)，f(x)=x2+bx+

1

2

，
f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
∵f(

1

2

)=0，設(shè)另一個(gè)根為x₂，則

1

2

x2=

1

2

，∴x₂=1，
則 f（x）＜0的解集為 (

1

2

，1)．…（3分）
（2）f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∵f（c）=0，設(shè)另一個(gè)根為x₂，則cx2=

c

a

∴x2=

1

a

，
又當(dāng)0＜x＜c時(shí)，恒有f（x）＞0，則

1

a

＞c，
∴f（x）＜0的解集為(c，

1

a

)…（6分）
（3）由（2）的f（x）的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(c，0)，(

1

a

，0)，(0，c)
這三交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為S=

1

2

(

1

a

-c)c=8，…（8分）
∴a=

c

16+c2

≤

c

2 16 c

=

1

8

故a∈(0，  

1

8

]．…（10分）
（4）∵f（c）=0，∴ac²+bc+c=0，
又∵c＞0，∴ac+b+1=0，…（11分）
要使m²-2km≥0，對(duì)所有k∈[-1，1]恒成立，則
當(dāng)m＞0時(shí)，m≥（2k）_max=2           
當(dāng)m＜0時(shí)，m≤（2k）_min=-2
當(dāng)m=0時(shí)，0²≥2k•0，對(duì)所有k∈[-1，1]恒成立
從而實(shí)數(shù)m的取值范圍為  m≤-2或m=0或m≥2．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．