Question

已知雙曲線（a＞b＞0）的半焦距為c，直線l的方程為bx+ay-ab=0，若原點(diǎn)O到直線l的距離為，則雙曲線的離心率為

1. A.
   或2
2. B.
   
3. C.
   或
4. D.
   2

Answer 1

B
分析：原點(diǎn)（0，0）到直線bx+ay=ab的距離是d=，兩邊平方得16a²c²-16c⁴=3c⁴，兩邊除以a⁴，得：3e⁴-16e²+16=0，由此能求出雙曲線的離心率．
解答：原點(diǎn)（0，0）到直線bx+ay=ab的距離是d=，
兩邊平方得：a²b²=c²（a²+b²）=（c²）²，
即：16a²（c²-a²）=3（c²）²，
∴16a²c²-16c⁴=3c⁴，
兩邊除以a⁴，得：3e⁴-16e²+16=0，
解得e²=4或e²=，
因?yàn)閍＞b，所以a²＞b²，
即a²＞c²-a²，2a²＞c²，
所以，即e²＜2．
所以e²=4舍去．
∴e²=，
所以離心率e=．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的離心率的求法和直線與雙曲線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．易錯(cuò)點(diǎn)是沒有判斷e²＜2，從而導(dǎo)致產(chǎn)生增根．