Question

（2013•福建）已知函數(shù)f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（

π

4

，0），將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個(gè)

π

2

單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式
（2）是否存在x₀∈（

π

6

，

π

4

），使得f（x₀），g（x₀），f（x₀）g（x₀）按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)確定x₀的個(gè)數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由；
（3）求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得ω=2，φ=

π

2

，利用三角函數(shù)的圖象變換可求得g（x）=sinx；
（2）依題意，當(dāng)x∈（

π

6

，

π

4

）時(shí)，

1

2

＜sinx＜

2

2

，0＜cosx＜

1

2

⇒sinx＞cos2x＞sinxcos2x，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（

π

6

，

π

4

）內(nèi)是否有解．通過(guò)G′（x）＞0，可知G（x）在（

π

6

，

π

4

）內(nèi)單調(diào)遞增，而G（

π

6

）＜0，G（

π

4

）＞0，從而可得答案；
（3）依題意，F(xiàn)（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等價(jià)于關(guān)于x的方程a=-

cos2x

sinx

，x≠kπ（k∈Z）．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交點(diǎn)情況．通過(guò)其導(dǎo)數(shù)，列表分析即可求得答案．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，
∴ω=

2π

T

=2，
又曲線y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(

π

4

，0)，φ∈（0，π），
故f（

π

4

）=sin（2×

π

4

+φ）=0，得φ=

π

2

，所以f（x）=cos2x．
將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）后可得y=cosx的圖象，
再將y=cosx的圖象向右平移

π

2

個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）=cos（x-

π

2

）的圖象，
∴g（x）=sinx．
（2）當(dāng)x∈（

π

6

，

π

4

）時(shí)，

1

2

＜sinx＜

2

2

，0＜cosx＜

1

2

，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（

π

6

，

π

4

）內(nèi)是否有解．
設(shè)G（x）=sinx+sinxcos2x-cos2x，x∈（

π

6

，

π

4

），
則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx），
∵x∈（

π

6

，

π

4

），
∴G′（x）＞0，G（x）在（

π

6

，

π

4

）內(nèi)單調(diào)遞增，
又G（

π

6

）=-

1

4

＜0，G（

π

4

）=

2

2

＞0，且G（x）的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)G（x）在（

π

6

，

π

4

）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x₀，即存在唯一零點(diǎn)x₀∈（

π

6

，

π

4

）滿足題意．
（3）依題意，F(xiàn)（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，
當(dāng)sinx=0，即x=kπ（k∈Z）時(shí)，cos2x=1，從而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，
∴方程F（x）=0等價(jià)于關(guān)于x的方程a=-

cos2x

sinx

，x≠kπ（k∈Z）．
現(xiàn)研究x∈（0，π）∪（π，2π）時(shí)方程a=-

cos2x

sinx

的解的情況．
令h（x）=-

cos2x

sinx

，x∈（0，π）∪（π，2π），
則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交點(diǎn)情況．
h′（x）=

cosx(2sin2x+1)

sin2x

，令h′（x）=0，得x=

π

2

或x=

3π

2

，
當(dāng)x變換時(shí)，h′（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（0， π 2 ）	π 2	（ π 2 ，π）	（π， 3π 2 ）	3π 2	（ 3π 2 ，2π）
h′（x）	+	0	-	-	0	+
h（x）	↗	1	↘	↘	-1	↗

當(dāng)x＞0且x趨近于0時(shí)，h（x）趨向于-∞，
當(dāng)x＜π且x趨近于π時(shí)，h（x）趨向于-∞，
當(dāng)x＞π且x趨近于π時(shí)，h（x）趨向于+∞，
當(dāng)x＜2π且x趨近于2π時(shí)，h（x）趨向于+∞，
故當(dāng)a＞1時(shí)，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)無(wú)交點(diǎn)，在（π，2π）內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a＜-1時(shí)，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，在（π，2π）內(nèi)無(wú)交點(diǎn)；
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，在（π，2π）內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)；
由函數(shù)h（x）的周期性，可知當(dāng)a≠±1時(shí)，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，nπ）內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，從而不存在正整數(shù)n，使得直線y=a與曲線y=h（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)；
又當(dāng)a=1或a=-1時(shí)，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）內(nèi)有3個(gè)交點(diǎn)，由周期性，2013=3×671，
∴依題意得n=671×2=1342．
綜上，當(dāng)a=1，n=1342，或a=-1，n=1342時(shí)，函數(shù)F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，三角恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，抽象概括能力，推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．