(2013•香洲區(qū)模擬)在銳角△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C,所對的邊,且滿足
3
a-2bsinA=0

(Ⅰ)求角B的大。
(Ⅱ)若a+c=5,且a>c,b=
7
,求
AB
AC
的值.
分析:(Ⅰ)利用正弦定理化簡已知的等式,根據(jù)sinA不為0,可得出sinB的值,由B為銳角,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù);
(Ⅱ)由b及cosB的值,利用余弦定理列出關(guān)于a與c的關(guān)系式,利用完全平方公式變形后,將a+c的值代入,求出ac的值,將a+c=5與ac=6聯(lián)立,并根據(jù)a大于c,求出a與c的值,再由a,b及c的值,利用余弦定理求出cosA的值,然后將所求的式子利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡后,將b,c及cosA的值代入即可求出值.
解答:解:(Ⅰ)∵
3
a-2bsinA=0,
3
sinA-2sinBsinA=0,…(2分)
∵sinA≠0,∴sinB=
3
2
,…(3分)
又B為銳角,則B=
π
3
;…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知B=
π
3
,又b=
7
,
根據(jù)余弦定理,得b2=7=a2+c2-2accos
π
3
,…(7分)
整理得:(a+c)2-3ac=7,
∵a+c=5,∴ac=6,
又a>c,可得a=3,c=2,…(9分)
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
7+4-9
4
7
=
7
14
,…(11分)
AB
AC
=|
AB
|•|
AC
|cosA=cbcosA=2×
7
×
7
14
=1.…(13分)
點(diǎn)評:此題考查了正弦、余弦定理,平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則,完全平方公式的運(yùn)用,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握定理及法則是解本題的關(guān)鍵.
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25
+
y2
9
=1
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x2
4
-
y2
12
=1
x2
4
-
y2
12
=1

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3
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3
)
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3
t
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[-1,3]
[-1,3]

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