Question

不等式e^x-x＞ax的解集為P，且[0，2]⊆P，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-∞，e-1）

．

Answer 1

分析：由題意可得，對(duì)任意x∈[0，2]，e^x-x＞ax恒成立，分類(lèi)討論當(dāng)x=0時(shí)，不等式成立，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，可得a＜

ex

x

-1恒成立，利用導(dǎo)數(shù)可求g（x）=

ex

x

-1在（0，2]上的最小值，從而可求a的范圍

解答：解：因?yàn)閑^x-x＞ax的解集為P，且[0，2]⊆P，
所以對(duì)任意x∈[0，2]，e^x-x＞ax恒成立，
當(dāng)x=0時(shí)，不等式成立，
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，可得a＜

ex

x

-1恒成立．
令g（x）=

ex

x

-1，則g′（x）=

(x-1)ex

x2

，
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0．
所以當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最小值e-1，所以a的取值范圍是（-∞，e-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立與函數(shù)最值求解的相互轉(zhuǎn)化