Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），并且滿足三個(gè)條件：
①對任意正數(shù)x，y均有f（xy）=f（x）+f（y）；  
②當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0；
③f（3）=-1．
（1）求f（1）和f（

1

9

）的值；
（2）判斷并證明y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）若存在正數(shù)k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，求f（1）和f（

1

9

）的值．
（2）利用單調(diào)性的定義，結(jié)合抽象函數(shù)之間的數(shù)值關(guān)系進(jìn)行證明．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解不等式即可．

解答：解：（1）∵任意正數(shù)x，y均有f（xy）=f（x）+f（y）；  
∴令x=y=1得，f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，
∵f（3）=-1，∴令x=3，y=

1

3

，則f（3×

1

3

）=f（3）+f（

1

3

），
即f（1）=f（3）+f（

1

3

），
∴f（

1

3

）=f（1）-f（3）=0-（-1）=1．
f（

1

9

）=f（

1

3

×

1

3

）=f（

1

3

）+f（

1

3

）=2f（

1

3

）=2×1=2．
（2）y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞減．
證明：設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）任意兩個(gè)變量，且x₁＜x₂，設(shè)x₂=tx₁，（t＞1），
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（tx₁）=f（x₁）-f（x₁）-f（t）=-f（t）
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0；
∴f（t）＜0，即f（x₁）-f（x₂）=-f（t）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞減．
（3）∵f（

1

9

）=2，
∴不等式f（kx）+f（2-x）＜2等價(jià)為f（kx）+f（2-x）＜f（

1

9

），
即f[kx（2-x）]＜f（

1

9

），
∵函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)遞減．
∴

kx(2-x)＞ 1 9 x＞0 2-x＞0

，即k＞

1

9x(2-x)

，x∈(0，2)，
∵當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，y=

1

9x(2-x)

=

1

-9(x2-2x)

=

1

-9(x-1)2+9

≤

1

9

，
∴k＞

1

9

．

點(diǎn)評：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)求值的基本方法，利用抽象函數(shù)恒成立，可以將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換．