分析:(I)利用遞推式即可化為等比數(shù)列,利用其通項公式即可得出;
(II)利用“錯位相減法”即可得出T2n,通過作差,只要比較22n與(2n+1)2的大小,當n≤3時,直接比較,當n>4時,利用二項式定理展開放縮即可.
解答:解:(I)
f1(0)=2,a1==,
| fn+1(0)=f1[fn(0)]=, | an+1===-•=-an,(3分) |
| |
∴
{an}是首項為,公比為-的等比數(shù)列(4分)
∴{a
n}的通項公式是
an=•(-)n-1,n∈N*. (5分)
(II)∵T
2n=a
1+2a
2+3a
3+…+(2n-1)a
2n-1+2na
2n,
∴
-T2n=a2+3a3+…+(2n-1)a2n-na2n,(6分)
兩式相減得
T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n.
∴
T2n=+n••(-)2n-1=
-(-)2n+•(-)2n-1,
∴
T2n=(1-),(8分)
又
Qn=,
∴
(9分)
∵n∈N*,∴只要比較2
2n與(2n+1)
2大小.
當n=1時,2
2n-(2n+1)
2=-5<0,即T
2<Q
1(10分)
當n=2時,2
2n-(2n+1)
2=-7<0,即T
4<Q
2(11分)
當n≥3時,
22n<[(1+1)n]2=(++…+)2>[1+n+]2≥(1+n+n)2=(2n+1)2(13分)
∴T
2n>Q
n故n=1或2時,T
2n<Q
n,n≥3時,T
2n>Q
n. (14分)
點評:熟練掌握等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、“作差法”、通過二項式定理放縮比較大小等是解題的關鍵.