已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得|MP|=|MQ|？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）先確定橢圓的短半軸長，再根據(jù)兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點，即可求出橢圓的方程；（Ⅱ）分類討論：（1）若l與x軸重合時，顯然M與原點重合，m=0；（2）若直線l的斜率k≠0，則可設(shè)l：y=k（x-1），與橢圓的方程聯(lián)立，確定PQ的中點橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得PQ的中點的坐標(biāo)，根據(jù)|MP|=|MQ|，即可求得m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）因為橢圓的短軸長：2b=2⇒b=1，
又因為兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點，所以：b=c⇒a2=b2+c2=2；
故橢圓的方程為：…（4分）
（Ⅱ）（1）若l與x軸重合時，顯然M與原點重合，m=0；
（2）若直線l的斜率k≠0，則可設(shè)l：y=k（x-1），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）則：
所以化簡得：（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0；PQ的中點橫坐標(biāo)為：，
代入l：y=k（x-1）可得：PQ的中點為N，
由于|MP|=|MQ|得到
所以：綜合（1）（2）得到：…（14分）
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，充分利用|MP|=|MQ|是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點O，它的短軸長為2，右焦點為F，直線l：x=2與x軸相交于點E，
FE
=
OF
，過點F的直線與橢圓相交于A，B兩點，點C和點D在l上，且AD∥BC∥x軸．
（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；
（Ⅱ）求證：直線AC經(jīng)過線段EF的中點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點O，它的短軸長為2，右焦點為F，右準(zhǔn)線l與x軸相交于點E，
FE
=
OF
，過點F的直線與橢圓相交于A，B兩點，點C和點D在l上，且AD∥BC∥x軸．
（I）求橢圓的方程及離心率；
（II）當(dāng)|BC|=
1
3
|AD|時，求直線AB的方程；
（III）求證：直線AC經(jīng)過線段EF的中點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，離心率為
2
2
，又橢圓上任一點到兩焦點的距離和為2
2
，過點M（0，-
1
3
）與x軸不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）在y軸上是否存在定點N，使以PQ為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出N的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•天津模擬）已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得|MP|=|MQ|？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆河北省高二上學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且橢圓過點三點.

(1)求橢圓的方程；

(2)若點為橢圓上不同于的任意一點，,求內(nèi)切圓的面積的最大值，并指出其內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo).

 

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