Question

8．若關(guān)于x的不等式x（1+lnx）+2k＞kx的解集為A，且（2，+∞）⊆A，則整數(shù)k的最大值是（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由題意可得，當(dāng)x＞2時(shí)，x（1+lnx）＞k（x-2）恒成立，即k＜$\frac{x•（1+lnx）}{x-2}$恒成立．構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{x•（1+lnx）}{x-2}$，利用兩次求導(dǎo)得到函數(shù)最小值所在區(qū)間，則整數(shù)k的最大值可求．

解答 解：關(guān)于x的不等式x（1+lnx）+2k＞kx的解集為A，且（2，+∞）⊆A，
∴當(dāng)x＞2時(shí)，x（1+lnx）＞k（x-2）恒成立，即k＜$\frac{x•（1+lnx）}{x-2}$恒成立．
令h（x）=$\frac{x•（1+lnx）}{x-2}$，h′（x）=$\frac{x-4-2lnx}{{（x-2）}^{2}}$，x＞2．
令φ（x）=x-4-2lnx，φ′（x）=1-$\frac{2}{x}$＞0，∴φ（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∵φ（8）=4-2ln8＜0，φ（9）=5-2ln9＞0，
方程φ（x）=0在（2，+∞）上存在唯一實(shí)根x₀，且滿(mǎn)足x₀∈（8，9）．
則φ（x₀）=x₀-4-2lnx₀=0，即x₀-4=2lnx₀．
當(dāng)x∈（8，x₀）時(shí)，φ（x）＜0，h′（x）＜0，
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，φ（x）＞0，h′（x）＞0．
故h（x）在（2，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
故h（x）的最小值為h（x₀）=$\frac{{x}_{0}•（1+l{nx}_{0}）}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{x}_{0}（1+\frac{{x}_{0}}{2}-2）}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$∈（4，$\frac{9}{2}$）．
∴整數(shù)k的最大值為4．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解答該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于運(yùn)用二次求導(dǎo)后的結(jié)論，屬中檔題．