Question

已知拋物線y ²=2px及定點(diǎn)A（a，b），B（-a，0），（ab≠0，b ²≠2pa）．M是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一交點(diǎn)分別為M₁，M₂．
求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動時（只要M₁，M₂存在且M₁≠M(fèi)₂），直線M₁M₂恒過一個定點(diǎn)．并求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：利用A、M、M₁共線，確定M₁，M₂的坐標(biāo)，進(jìn)而可得M₁M₂所在直線方程，分別令m=0，1代入，可得定點(diǎn)坐標(biāo)，再驗證一般性結(jié)論成立．
解答：證明：設(shè)M（，m）．M₁（，m₁），M₂（，m₂），
則A、M、M₁共線，得=，即b-m=．
∴m₁=，同法得m₂=；
∴M₁M₂所在直線方程為=，即（m₁+m₂）y=2px+m₁m₂．
消去m₁，m₂，得2paby-bm²y=2pbmx-2pm²x+4p²a²-2pabm．（1）
分別令m=0，1代入，得x=a，y=，
以x=a，y=代入方程（1）知此式恒成立．
即M₁M₂過定點(diǎn)（a，）
點(diǎn)評：本題考查直線恒過定點(diǎn)，考查學(xué)生的計算能力，正確表示M₁M₂所在直線方程是關(guān)鍵．