Question

在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC．
（1）若∠BAC=

π

3

，AB=AC=PA=2，E、F分別為棱AB、PC的中點，求線段EF的長；
（2）求證：“∠PBC=90°”的充要條件是“平面PBC⊥平面PAB”．

Answer 1

分析：（1）取AC的中點O，連接EO，F(xiàn)O．由三角形中位線定理及線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合PA⊥平面ABC，可得FO⊥EO，進而判斷出△ABC是等邊三角形，由O，E分別為線段AC，AB的中點，解三角形EOF，即可得到答案．
（2）結(jié)合已知條件，先證明若∠PBC=90°，則平面PBC⊥平面PAB，即必要性，再證明若平面PBC⊥平面PAB，則∠PBC=90°，即充分性，即可得到：“∠PBC=90°”的充要條件是“平面PBC⊥平面PAB”．

解答：解：（1）取AC的中點O，連接EO，F(xiàn)O．
因為F為棱的中點，所以FO∥PA，且FO=

1

2

PA=1，
因為PA⊥平面ABC，EO?平面ABC，所以PA⊥EO
所以FO⊥EO．----------（3分）
因為∠BAC=

π

3

，AB=AC=2，所以△ABC是邊長為2的等邊三角形．
所以BC=2，因為O，E分別為線段AC，AB的中點，
所以EO=

1

2

BC=1．----------（5分）
因此在直角三角形EOF中，EF=

OE2+OF2

=

2

．----------（6分）
證明：（2）（必要性，即先證明命題“若∠PBC=90°，則平面PBC⊥平面PAB”為真命題．）
因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC．
又因為∠PBC=90°，即PB⊥BC，PA∩PB=P，所以BC⊥平面PAB．
又因為BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．----------（10分）
（充分性，即證明命題“若平面PBC⊥平面PAB，則∠PBC=90°”為真命題．）
在平面PAB內(nèi)，過A作AD⊥BC，D為垂足．
因為平面PBC⊥平面PAB，平面PBC∩平面PAB=PB．
所以AD⊥平面PBC，所以AD⊥BC．
因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC．
又AD，PA?平面PAB，PA∩AD=A，所以BC⊥平面PAB．
所以BC⊥PB，即∠PBC=90°
綜上，“∠PBC=90°”的充要條件是“平面PBC⊥平面PAB”．-------（14分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，必要條件、充分條件與充要條件的判斷，其中證明充要條件的步驟，即先證明必要性，再證明充分性，進而綜合證明結(jié)果得到結(jié)論，一定要熟練掌握．