Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{

2n

an

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用題設(shè)條件，求得

an

an+1

=

n+1

3n

(n≥2)，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由an=

1，n=1 2×3n-2 n ，n≥2

，知

2n

an

=

2，n=1 2n•( 2 3 )n-2，n≥2

，再利用錯位相減法能求出結(jié)果

解答：解：（1）由

a1+2a2+3a3+…+nan= n+1 2 an+1 a1+2a2+3a3+…+(n-1)an= n 2 an

相減得

an

an+1

=

n+1

3n

(n≥2)，
又因為a₁=a₂=1，（n+1）a_n+1=3na_n（n≥2），
所以{na_n}是以2a₂=2為首項，公比為3的等比數(shù)列，
則nan=2×3n-2(n≥2)，
又a₁=1不滿足上式，
故an=

1，n=1 2×3n-2 n ，n≥2

．
（2）∵an=

1，n=1 2×3n-2 n ，n≥2

，
∴

2n

an

=

2，n=1 2n•( 2 3 )n-2，n≥2

，
∴Tn=2+4×1+6×

2

3

+8×(

2

3

)2+…+2n•(

2

3

)n-2，n≥2，①
∴

2

3

Tn=

4

3

+4×

2

3

+6×(

2

3

)2+8×(

2

3

)3+…+2n•(

2

3

)n-1，②
①-②，得

1

3

Tn=

2

3

+4+2×

2

3

+2×(

2

3

)2+…+2×(

2

3

)n-2-2n•(

2

3

)n-1
=

14

3

+2[

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-2]-2n•(

2

3

)n-1
=

14

3

+2×

2 3 [1-( 2 3 )n-2]

1- 2 3

-2n•(

2

3

)n-1
=

14

3

+4-4×(

2

3

)n-2-2n•(

2

3

)n-1，
∴T_n=26-（27+9n）(

2

3

)n，
經(jīng)檢驗，n=1，也滿足上式．
故Tn=26-(27+9n)(

2

3

)n．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法和數(shù)列的前n項和公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意迭代法和錯位相減法的合理運用．