Question

設(shè)f（x）=x³-

1

2

x²-2x+5
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）求極值點(diǎn)與極值．

Answer 1

分析：（I）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
（II）令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，根據(jù)x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極大值和極小值．

解答：解：（I）f（x）=x³-

1

2

x²-2x+5，f′（x）=3x²-x-2，
令f′（x）＞0即3x²-x-2＞0解得x∈（-∞，-

2

3

）∪（1，+∞）
令f′（x）＜0即3x²-x-2＜0解得x∈（-

2

3

，1），
故函數(shù)在(-∞，-

2

3

)，（1，+∞）上為單調(diào)遞增區(qū)間，在(-

2

3

，1)上為單調(diào)遞減區(qū)間．
（II）由f′（x）=0，即3x²-x-2=0解得x=-

2

3

或x=1，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化如下表：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值 157 27	↓	極小值 7 2	↑

∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值

7

2

，當(dāng)x=-

2

3

時(shí)，f（x）取得極大值

157

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．