設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
4
+y2
=1的左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且
PF1
PF2
=-
5
4
,求點(diǎn)P的作標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B,且∠AOB為銳角(其中O為作標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.
(Ⅰ)易知a=2,b=1,c=
3

F1(-
3
,0)
,F2(
3
,0)
.設(shè)P(x,y)(x>0,y>0).
PF1
PF2
=(-
3
-x,-y)(
3
-x,-y)=x2+y2-3=-
5
4
,又
x2
4
+y2=1
,
聯(lián)立
x2+y2=
7
4
x2
4
+y2=1
,解得
x2=1
y2=
3
4
x=1
y=
3
2
,P(1,
3
2
)


(Ⅱ)顯然x=0不滿足題設(shè)條件.可設(shè)l的方程為y=kx+2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立
x2
4
+y2=1
y=kx+2
x2+4(kx+2)2=4⇒(1+4k2)x2+16kx+12=0

x1x2=
12
1+4k2
,x1+x2=-
16k
1+4k2

由△=(16k)2-4•(1+4k2)•12>016k2-3(1+4k2)>0,4k2-3>0,得k2
3
4
.①
又∠AOB為銳角?cos∠AOB>0?
OA
OB
>0
,
OA
OB
=x1x2+y1y2>0

又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4
∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)•
12
1+4k2
+2k•(-
16k
1+4k2
)+4

=
12(1+k2)
1+4k2
-
2k•16k
1+4k2
+4

=
4(4-k2)
1+4k2
>0

-
1
4
k2<4
.②
綜①②可知
3
4
k2<4
,
∴k的取值范圍是(-2,-
3
2
)∪(
3
2
,2)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(1)化簡
(2)如圖,平行四邊形中,分別是的中點(diǎn),為交點(diǎn),若=,=
試以,為基底表示、

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若向量
a
,
b
滿足|
a
|=|
b
|=2,且
a
b
+
b
b
=2,則向量
a
,
b
的夾角為(  )
A.30°B.45°C.60°D.120°

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

△ABC中,已知
AB
AC
=3
BA
BC

(1)求
tanB
tanA

(2)若cosC=
5
5
,求A.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,∠BAA1=60°,E為棱C1D1的中點(diǎn),則
AB
AE
=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

正△ABC邊長等于
3
,點(diǎn)P在其外接圓上運(yùn)動(dòng),則
AP
PB
的取值范圍是( 。
A.[-
3
2
,
3
2
]
B.[-
3
2
1
2
]
C.[-
1
2
,
3
2
]
D.[-
1
2
,
1
2
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知
a
=(sinx,cosx)
,
b
=(
3
cosx,cosx)
,設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b
(x∈R)
(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[-
π
6
,
12
]
時(shí),求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知
a
,
b
均為單位向量,<
a
,
b
>=60°,那么|
a
+3
b
|=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

在△ABC中,AB=1,AC=2,(
AB
+
AC
)•
AB
=2
,則△ABC面積等于______.

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同步練習(xí)冊(cè)答案