Question

【題目】設,.

（Ⅰ）當時,求曲線在處的切線的方程;

（Ⅱ）如果存在,使得成立,求滿足上述條件的最大整數(shù);

（Ⅲ）如果對任意的,都有成立,求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（本小題14分）

（1）當時，，，，，

所以曲線在處的切線方程為； （4分）

（2）存在，使得成立

等價于：，

考察，，

		遞減	極（最）小值	遞增

由上表可知：，

，

所以滿足條件的最大整數(shù)； （8分）

（3）對任意的，都有成立

等價于：在區(qū)間上，函數(shù)的最小值不小于的最大值，

由（2）知，在區(qū)間上，的最大值為。

，下證當時，在區(qū)間上，函數(shù)恒成立。

當且時，，

記，，。

當，；當，

，

所以函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，

，即， 所以當且時，成立，

即對任意，都有。 （14分）

（3）另解：當時，恒成立

等價于恒成立，

記，，。

記，，由于，

, 所以在上遞減，

當時，，時，，

即函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，

所以，所以。 （14分）

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用，求解函數(shù)在給定點處的切線方程，以及不等式的恒成立問題的綜合運用。

（1）利用導數(shù)的幾何意義，求解切線的斜率，和切點坐標，表示出切線方程。

（2）要是不等式恒成立，構造函數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性，進而得到參數(shù)m的最值。

（3）對任意的s,t屬于[1/2,1]，都有f(s)f(t)成立

等價于：在區(qū)間[1/2,1]，上，函數(shù)f(x)的最小值不小于g(x)的最大值，

結合第二問的結論得到。

解：（1）當時，，，，，

所以曲線在處的切線方程為；4分

（2）存在，使得成立，

等價于：，

考察，

		遞減	極（最）小值	遞增

，

由上表可知：，

，

所以滿足條件的最大整數(shù)；8分

3）當時，恒成立，等價于恒成立，

記，，。

記，，由于，

, 所以在上遞減，又h/（1）=0，

當時，，時，，

即函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，

所以，所以。12分

（3）另解：對任意的，都有成立

等價于：在區(qū)間上，函數(shù)的最小值不小于的最大值，

由（2）知，在區(qū)間上，的最大值為。

，下證當時，在區(qū)間上，函數(shù)恒成立。

當且時，，

記，，

當，；當，

，

所以函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，

，即，

所以當且時，成立，

即對任意，都有。