Question

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，-

3

2

），傾斜角為α的直線(xiàn)l，與曲線(xiàn)C：

x=5cosθ y=5sinθ

（θ為參數(shù)）相交于B，C兩點(diǎn)．
（1）寫(xiě)出直線(xiàn)l的參數(shù)方程，并求當(dāng)α=

π

6

時(shí)弦BC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)A恰為BC的中點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)BC的方程；
（3）當(dāng)|BC|=8時(shí)，求直線(xiàn)BC的方程；
（4）當(dāng)α變化時(shí)，求弦BC的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,直線(xiàn)的參數(shù)方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）寫(xiě)出直線(xiàn)的參數(shù)方程，曲線(xiàn)C化為普通方程，將直線(xiàn)方程代入普通方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出BC的長(zhǎng)；
（2）由t₁+t₂=3（2cosα+sinα）=0，求出斜率，即可得到方程；
（3）由|BC|=8，解三角方程，求出斜率，即可得到直線(xiàn)方程；
（4）BC中點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)t=

t1+t2

2

=

1

2

×3（2cosα+sinα），代入直線(xiàn)的參數(shù)方程，化簡(jiǎn)即可得到軌跡方程．

解答： 解：（1）l的參數(shù)方程

x=-3+tcosα y=- 3 2 +tsinα

（t為參數(shù)）．        
曲線(xiàn)C化為：x²+y²=25，將直線(xiàn)參數(shù)方程的x，y代入，得
t²-3（2cosα+sinα）t-

55

4

=0
∵△=9（2cosα+sinα）²+55=0恒成立，
∴方程必有相異兩實(shí)根t₁，t₂，且t₁+t₂=3（2cosα+sinα），t₁t₂=-

55

4

．
∴|BC|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

9(2cosα+sinα)2+55

，
∴當(dāng)α=

π

6

時(shí)，|BC|=

1

2

337+36 3

．                  
（2）由A為BC中點(diǎn)，可知t₁+t₂=3（2cosα+sinα）=0，
∴tanα=-2，
故直線(xiàn)BC的方程為4x+2y+15=0．                 
（3）∵|BC|=8，得|BC|=

9(2cosα+sinα)2+55

=8，
∴4sinαcosα+3cos²α=0，
∴cosα=0或tanα=-

3

4

．
故直線(xiàn)BC的方程為x=3或3x+4y+15=0．
（4）∵BC中點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)t=

t1+t2

2

=

1

2

×3（2cosα+sinα），
∴

x=-3+ 3 2 (2cosα+sinα)cosα y=- 3 2 + 3 2 (2cosα+sinα)sinα

（參數(shù)α∈[0，π]），消去α，得
弦BC的中點(diǎn)的軌跡方程為（x+

3

2

）²+（y+

3

4

）²=

45

16

；
軌跡是以（-

3

2

，-

3

4

）為圓心，

3 5

4

為半徑的圓．

點(diǎn)評(píng)：本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查直線(xiàn)的參數(shù)方程的幾何意義和運(yùn)用，韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．