Question

設(shè)函數(shù)，記的導函數(shù)，的導函數(shù)
，
的導函數(shù)，…，的導函數(shù)，.
（1）求；
（2）用n表示；
（3）設(shè)，是否存在使最大？證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）（2）（3）故當或時，取
最大值.

試題分析：⑴易得,,                          
                                       
,所以                       
⑵不失一般性，設(shè)函數(shù)的導函數(shù)為
，其中，常數(shù)，.
對求導得：  
故由得：      ①，
 ②，            ③ 
由①得： ，                                      
代入②得：，即，其中
故得：.                                        
代入③得：，即，其中.
故得：，                                
因此.
將代入得：，其中.                
（3）由（1）知，
當時，，
，故當最大時，為奇數(shù).                 
當時，                  
又，
，
，因此數(shù)列是遞減數(shù)列                
又，，                     
故當或時，取最大值.      
點評：本題是數(shù)列綜合題，利用轉(zhuǎn)化法把非常規(guī)數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列來處理是關(guān)鍵，
屬難題.