Question

設(shè)雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓

x2

3

+

y2

4

=1的焦點(diǎn)，該雙曲線又與直線

15

x-3y+6=0交于兩點(diǎn)A、B且OA⊥OB（O為原點(diǎn)）．
（1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 
（2）求|AB|的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）利用條件雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓

x2

3

+

y2

4

=1的焦點(diǎn)，可以假雙曲線的方程為y2-

x2

b2

=1，再結(jié)合條件OA⊥OB，可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求|AB|的長(zhǎng)度，利用兩點(diǎn)間的距離公式求解．

解答：解：（1）橢圓

x2

3

+

y2

4

=1的焦點(diǎn)為（0，±1），依題意設(shè)雙曲線的方程為y2-

x2

b2

=1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

15

x1=3y1-6，

15

x2=3y2-6，∴15x₁x₂=9y₁y₂-18（y₁+y₂）+36，
∴x1x2=

3y1y2-6(y1+y2)+12

5

由 OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴4y₁y₂-3（y₁+y₂）+6=0…①
由

y2- x2 b2 =1 15 x-3y+6=0

，∴（15b²-9）y²+36y-（15b²+36）=0…②
∴y1+y2=

36

9-15b2

，y1y2=

15b2+36

9-15b2

，代入①中得b²=3∴雙曲線的方程為y2-

x2

3

=1
（2）將b²=3代入②式中，得4y²+4y-9=0，y1+y2=-1，y1y2=-

9

4

∴|AB|=

1+ 1 k2

|y2-y1|=

1+ 3 5

•

1-4×(- 9 4

)=4

點(diǎn)評(píng)：本題（1）問利用直線與曲線聯(lián)立方程組，采用設(shè)而不求的方法，關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)；（2）問則在（1）問得基礎(chǔ)上借助于兩點(diǎn)間的距離公式求解．屬于中檔題．