Question

【題目】如圖，在四棱錐中， ， 平面， .

(1)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證： 平面；

(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）為中點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）先取的中點(diǎn)，利用三角形中位線性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行判定定理得平面.根據(jù)計(jì)算，利用平幾知識(shí)得，再根據(jù)線面平行判定定理得平面.從而利用面面平行判定定理得平面平面.最后根據(jù)面面平行性質(zhì)得平面. （2）一般利用空間直角坐標(biāo)系研究線面角，先根據(jù)條件建立恰當(dāng)直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組求出平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求出向量夾角，最后利用線面角與向量夾角關(guān)系列方程，解出點(diǎn)坐標(biāo)，確定其位置.

試題解析：(1)證明　取的中點(diǎn)，連接，則.

因?yàn)?/span>平面， 平面，所以平面.

在中， ，所以.

而，所以.

因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以平面.

又因?yàn)?/span>，

所以平面平面.

因?yàn)?/span>平面，

所以平面.

（注：（1）問也可建系來證明）

(2)過作，交于，又平面知以為原點(diǎn)， 分別為軸建系如圖：

則

設(shè)平面PAC的法向量，

由有取

設(shè)，則，

∴

∴

∴,∴．

∴線段上存在一點(diǎn)， 為中點(diǎn)