Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和S_n滿足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁，a₃，a₁₅成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n
（2）b_n=20-a_n，T_n前n項(xiàng)和，求T_n的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)10S_n=a_n²+5a_n+6求出a₁的值，再結(jié)合10S_n-1=a_n-1²+5a_n-1+6可得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-5）=0，進(jìn)而得到a_n-a_n-1=5可求出a_n=5n-3．
（2）根據(jù)（1）中{a_n}的通項(xiàng)a_n可得到b_n=20-a_n=23-5n，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得到T_n的表達(dá)式，進(jìn)而求出T_n的最大值．
解答：解：（1）∵10S_n=a_n²+5a_n+6，①∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3．
又10S_n-1=a_n-1²+5a_n-1+6（n≥2），②
由①-②得 10a_n=（a_n²-a_n-1²）+5（a_n-a_n-1），即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-5）=0
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=5 （n≥2）．
當(dāng)a₁=3時(shí)，a₃=13，a₁₅=73．a(chǎn)₁，a₃，a₁₅不成等比數(shù)列∴a₁≠3；
當(dāng)a₁=2時(shí)，a₃=12，a₁₅=72，有 a₃²=a₁a₁₅，∴a₁=2，∴a_n=5n-3．
（2）∵b_n=20-a_n=23-5n
所以T_n==
當(dāng)n=4時(shí)，T_n取得最大值42．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．考查綜合運(yùn)用能力．