Question

已知橢圓C的方程為x²+=1，點(diǎn)P（a，b）的坐標(biāo)滿足a²+≤1，過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，求：

（1）點(diǎn)Q的軌跡方程；

（2）點(diǎn)Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（x，y）. 當(dāng)x1≠x2時(shí)，設(shè)直線斜率為k，則l的方程為y=k（x－a）+b. 由已知x12+=1  ①，x22+=1  ② y1=k（x1－a）+b  ③，y2=k（x2－a）+b  ④ ①－②得（x1+x2）（x1－x2）+（y1+y2）（y1－y2）=0.  ⑤ ③+④得y1+y2=k（x1+x2）－2ka+2b  ⑥ 由⑤、⑥及， 得點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2－2ax－by=0  ⑦ 當(dāng)x1=x2時(shí)，k不存在，此時(shí)l平行于y軸，因此AB的中點(diǎn)Q一定落在x軸，即Q的坐標(biāo)為（a，0），顯然點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程⑦ 綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2－2ax－by=0. 設(shè)方程⑦所表示的曲線為l. 則由得（2a2+b2）x2－4ax+2－b2=0. 因?yàn)?i>Δ=8b2（a2+－1），由已知a2+≤1 所以當(dāng)a2+=1時(shí)，Δ=0，曲線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P（a，b）； 當(dāng)a2+＜1時(shí)，Δ＜0，曲線l與橢圓C沒(méi)有交點(diǎn). 因?yàn)椋?，0）在橢圓C內(nèi)，又在曲線l上，所以曲線l在橢圓C內(nèi). 故點(diǎn)Q的軌跡方程為2x2+y2－2ax－by=0； （2）由，得曲線l與y軸交于點(diǎn)（0，0）、（0，b）； 由，得曲線l與x軸交于點(diǎn)（0，0）、（a，0）； 當(dāng)a=0，b=0，即點(diǎn)P（a，b）為原點(diǎn)時(shí)，（a，0）、（0，b）與（0，0）重合，曲線l與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（0，0）； 當(dāng)a=0且0＜|b|≤時(shí)，即點(diǎn)P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的y軸上時(shí)，點(diǎn)（a，0）與（0，0）重合，曲線l與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（0，b）與（0，0）； 同理，當(dāng)b=0且0＜|a|≤1時(shí)，即點(diǎn)P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的x軸上時(shí)，曲線l與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（a，0）與（0，0）； 當(dāng)0＜|a|＜1且0＜|b|＜時(shí)，即點(diǎn)P（a，b）在橢圓C內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時(shí)，曲線l與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)（a，0）、（0，b）與（0，0）.