Question

已知曲線C₁的參數(shù)方程為

x=-t y= 3 t

（t為參數(shù)），當t=1時，曲線C₁上的點為A，當t=-1時，曲線C₁上的點為B．以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=

6

4+5sin2θ

．
（1）求A、B的極坐標；
（2）設(shè)M是曲線C₂上的動點，求|MA|²+|MB|²的最大值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）當t=1時，代入?yún)��?shù)方程可得即A(-1，

3

)，利用ρ=

x2+y2

，tanθ=

y

x

即可得出
點A的極坐標，同理可得B(1，-

3

)及其點B的極坐標．
（2）由ρ=

6

4+5sin2θ

，化為4ρ²+5（ρsinθ）²=36，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可化為直角坐標方程，設(shè)曲線C₂上的動點M（3cosα，2sinα），可得|MA|²+|MB|²=10cos²α+16，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）當t=1時，代入?yún)��?shù)方程可得

x=-1 y= 3

即A(-1，

3

)，
∴ρ=

(-1)2+( 3 )2

=2，tanθ=

3

-1

=-

3

，∴θ=

2π

3

，∴點A的極坐標為(2，

2π

3

)．
當t=-1時，同理可得B(1，-

3

)，點B的極坐標為(2，

5π

3

)．
（2）由ρ=

6

4+5sin2θ

，化為ρ²（4+5sin²θ）=36，∴4ρ²+5（ρsinθ）²=36，化為4（x²+y²）+5y²=36，化為

x2

9

+

y2

4

=1，設(shè)曲線C₂上的動點M（3cosα，2sinα），
則|MA|²+|MB|²=(3cosα+1)2+(2sinα-

3

)2+(3cosα-1)2+(2sinα+

3

)2
=18cos²α+8sin²α+8
=10cos²α+16≤26，當cosα=±1時，取得最大值26．
∴|MA|²+|MB|²的最大值是26．

點評：本題考查了把極坐標方程化為直角坐標方程、橢圓的標準方程及其參數(shù)方程、三角函數(shù)基本關(guān)系式、余弦函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了計算能力，屬于中檔題．