Question

已知拋物線（且為常數(shù)），為其焦點．

（1）寫出焦點的坐標；

（2）過點的直線與拋物線相交于兩點，且，求直線的斜率；

（3）若線段是過拋物線焦點的兩條動弦，且滿足，如圖所示．求四邊形面積的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（a，0）；（2）； (3) ．

【解析】

試題分析：（1）∵拋物線方程為（a＞0），∴焦點為F（a，0）．

（2）設滿足題意的點為P（x₀，y₀）、Q（x₁，y₁）．

∵，

∴(a-x₀，-y₀)=2(x₁-a，y₁)，即．

又y₁²=4ax₁，y₀²=4ax₀，

∴，進而可得x₀=2a，，即y₀=±2a．

∴．

(3) 由題意可知，直線AC不平行于x軸、y軸（否則，直線AC、BD與拋物線不會有四個交點）。

于是，設直線AC的斜率為．    12分

聯(lián)立方程組，化簡得(設點),則是此方程的兩個根．

．                           13分

弦長

＝

＝

＝．                   15分

又,．． 16分

＝,當且僅當時，四邊形面積的最小值．18分

考點：直線與拋物線的位置關系，平面向量的坐標運算。

點評：中檔題，涉及曲線的位置關系問題，往往通過聯(lián)立方程組，消元后，應用韋達定理，簡化運算過程。本題（2）通過應用平面向量共線的條件，利用“代入法”，得到的關系，進一步求得直線的斜率。（3）利用函數(shù)的觀點及均值定理，確定得到面積的最小值。應用均值定理要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。