Question

已知函數(shù)f（x）=）
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）記S_n（x）=（x）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a_n+1=f（a_n）（n∈N^*，等式兩邊同取倒數(shù)，變形可得=3，滿足等差數(shù)列的定義，可得結(jié)論；
（2）先根據(jù)（1）求出a_n，然后討論當(dāng)x=1，求出S_n（x），當(dāng)x≠1，0時(shí)，可利用錯(cuò)位相消法進(jìn)行求和，當(dāng)x=0時(shí)，S_n（0）=0也適合，即可求出所求．
解答：解：（1）由已知得：a_n+1=
∴=3
∴是首項(xiàng)為1，公差d=3的等差數(shù)列
（2）由（1）得=1+（n-1）3=3n-2
∴S_n（x）=x+4x²+7x³+…+（3n-5）x^n-1+（3n-2）xⁿ
當(dāng)x=1，S_n（1）=1+4+7+…+（3n-2）=
當(dāng)x≠1，0時(shí)，S_n（x）=x+4x²+7x³+…+（3n-5）x^n-1+（3n-2）xⁿ
xS_n（x）=x²+4x³+7x⁴+…+（3n-5）xⁿ+（3n-2）xⁿ⁺¹
（1-x）S_n（x）=x+（3x²+3x³+…+3xⁿ）-（3n-2）xⁿ⁺¹
=
∴=
=
=
當(dāng)x=0時(shí)，S_n（0）=0也適合．
綜上所述，
x≠1，S_n（x）=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的證明，以及數(shù)列的求和，借助錯(cuò)位相消法進(jìn)行求和是常用的方法，屬于中檔題．