Question

9．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，對任意的n∈N^*都有a_n＞0，a₁=1且滿足$\sqrt{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（a_n+1），求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 $\sqrt{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（a_n+1），化為：S_n=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，n=1時，${a}_{1}=\frac{1}{4}$$（{a}_{1}+1）^{2}$，a₁＞0，解得a₁．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化簡即可得出．

解答 解：∵$\sqrt{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（a_n+1），∴S_n=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，
n=1時，${a}_{1}=\frac{1}{4}$$（{a}_{1}+1）^{2}$，a₁＞0，解得a₁=1．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵對任意的n∈N^*都有a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．