Question

如圖，已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為正方形，E為線段AD₁的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ABCD；
（2）設(shè)M為線段C₁C的中點(diǎn)，當(dāng)的比值為多少時(shí)，DF⊥平面D₁MB，
并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證：EF∥平面ABCD，只需證明EF∥AB，由直線與平面平行的判定定理可知EF∥平面ABCD．
（2）F為線段BD₁的中點(diǎn)，當(dāng)=時(shí)，易證DF⊥BD₁，再證MF⊥平面BB₁D₁D，就能證明FM⊥DF，即可證明DF⊥平面D₁MB．
解答：解：（1）∵E為線段AD₁的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BD₁的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，
∵EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥面ABCD．
（2）當(dāng)時(shí)，DF⊥平面D₁MB．
證明如下：連接AC，BD．
設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O、連接OF，F(xiàn)M．在長方體中，
∵O是BD的中點(diǎn)，
∴OF∥DD₁且OF=DD₁、而CM∥DD₁且CM=DD₁．
∴OF∥CM且OF=CM，
∴四邊形OCMF是平行四邊形．
∴FM∥OC．
∵DD₁⊥平面ABCD，
∴D₁D⊥OC，而OC⊥BD，
∴OC⊥平面BB₁D₁D，
∴OC⊥DF，
∴FM⊥DF．
∵，
∴D₁D=BD．
∵F為BD₁的中點(diǎn)，
∴DF⊥BD₁．
∵FM∩BD₁=F，
∴DF⊥平面BD₁M．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行和垂直的判斷，考查學(xué)生邏輯思維能力，空間想象能力，是難題．