Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由題意，當(dāng)時(shí)，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解函數(shù)的極值；

（Ⅱ）由，由，得或，分類討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）由（1）和（2），分當(dāng)和，分類討論，分別求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可得出相應(yīng)的結(jié)論，進(jìn)而得到結(jié)論.

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)：，令解得，

又因?yàn)楫?dāng)，，函數(shù)為減函數(shù)；

當(dāng)，，函數(shù)為增函數(shù).

所以，的極小值為.

（Ⅱ）.當(dāng)時(shí)，由，得或.

(ⅰ)若，則.故在上單調(diào)遞增；

（ⅱ）若，則.故當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

(ⅲ)若，則.故當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（Ⅲ）（1）當(dāng)時(shí)，，令，得.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以此時(shí)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)：

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知在上單調(diào)遞增，且，，此時(shí)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）的單調(diào)性結(jié)合，又，

只需討論的符號(hào)：

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn).

(ⅲ)當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）的單調(diào)性結(jié)合，，，此時(shí)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，.