Question

已知圓C的圓心在直線2x-y-3=0上，且經(jīng)過點(diǎn)A（5，2），B（3，2），
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l過點(diǎn)P（2，1）且與圓C相交的弦長(zhǎng)為2

6

，求直線l的方程．
（3）設(shè)Q為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓心C（a，2a-3），由圓經(jīng)過點(diǎn)A（5，2），B（3，2），可得|CA|²=|CB|²，由此求得a的值，可得圓心和半徑，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為 x=2，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為 y-1=k（x-2），求出弦心距d，再由d2+(

6

)2= r2求得k
的值，即可求得直線l的方程．綜合可得結(jié)論．
（3）求出直線OP的方程為 x-2y=0，圓心到直線的距離d 的值，根據(jù)△OPQ面積的最大值為

1

2

•|OP|•(d+r)，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）∵圓C的圓心在直線2x-y-3=0上，設(shè)C（a，2a-3），由圓經(jīng)過點(diǎn)A（5，2），B（3，2），可得|CA|²=|CB|²，
即 （a-5）²+（2a-3-2）²=（a-3）²+（2a-3-2）²，解得 a=4．
故圓心C（4，5），半徑為r=|CA|=

(a-5)2+(2a-3-2)2

=

10

，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （x-4）²+（y-5）²=10．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為 x=2，弦心距等于2，滿足弦長(zhǎng)為2

6

，符合題意．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為 y-1=k（x-2），即 kx-y+1-2k=0．
此時(shí)，弦心距d=

|4k-5-2k+1|

k2+1

=

|2k-4|

k2+1

，由d2+(

6

)2= r2 解得 k=

3

4

，故直線l的方程為 y=

3

4

x-

1

2

．
綜上可得，所求的直線l的方程為 x=2，或 y=

3

4

x-

1

2

．
（3）直線OP的方程為 y=

1

2

x，即 x-2y=0，故圓心到直線的距離為d=

|4-2×5|

4+1

=

6 5

5

 
故圓上的點(diǎn)到直線OP的距離最大為d+r=

6 5

5

+

10

．再由|OP|=

1+4

=

5

，可得△OPQ面積的最大值為

1

2

•|OP|•(d+r)=3+

5 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．