Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期及區(qū)間[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位，再向上平移

3

2

個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）在[0，

π

4

]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由f（x）的解析式求得f（x）的最小正周期；令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；再根據(jù)x∈[0，π]，進(jìn)一步確定函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）由題意利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）=f（x-

π

4

）+

3

2

=sin（2x-

π

6

）+

3

，由x∈[0，

π

4

]時，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得g（x）在[0，

π

4

]上的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，故f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，求得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈z，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈z．
再根據(jù)x∈[0，π]，可得函數(shù)在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

12

，

7π

12

]．
（2）由題意g（x）=f（x-

π

4

）+

3

2

=sin[2（x-

π

4

）+

π

3

]+

3

=sin（2x-

π

6

）+

3

，
當(dāng)x∈[0，

π

4

]時，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，由于g（x）是[0，

π

4

]上的增函數(shù)，
∴g（x）_max=g（

π

4

）=

3 3

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性、及其的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．