如圖，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥平面ABCD，|PA|=1。

（1）BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，并說(shuō)明理由；

（2）若BC邊上存在唯一的點(diǎn)Q使得PQ⊥QD，指出點(diǎn)Q的位置,并求出此時(shí)AD與平面PDQ所成的角的正弦值；

（3）在（2）的條件下，求二面角Q ―PD―A的正弦值。

解：（1）若BC邊上存在點(diǎn)Q，使PQ⊥QD，因PA⊥面ABCD知AQ⊥QD。

矩形ABCD中，當(dāng)a<2時(shí)，直線BC與以AD為直徑的圓相離，故不存在點(diǎn)Q使AQ⊥QD，

故僅當(dāng)a≥2時(shí)才存在點(diǎn)Q使PQ⊥QD；

（2）當(dāng)a=2時(shí)，以AD為直徑的圓與BC相切于Q，此時(shí)Q是唯一的點(diǎn)使∠AQD為直角，且Q為BC的中點(diǎn)。作AH⊥PQ于H，可證∠ADH為AD與平面PDQ所成的角，且在Rt△AHD中可求得

（3）作AG⊥PD于G，可證∠AGH為二面角Q―PD―A的平面角，且在Rt△PAD中可求得

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，矩形ABCD由兩個(gè)正方形拼成，則∠CAE的正切值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M為AD的中點(diǎn)，則
BM
•
BD
的值為
 
．
精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=
π
2
，AD=
3
，EF=2．
（1）求證：AE∥平面DCF；
（2）當(dāng)二面角D-EF-C的大小為
π
3
時(shí)，求AB的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•湛江一模）如圖，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE
（1）當(dāng)平面A1DE⊥平面BCD時(shí)，求直線CD與平面A1CE所成角的正弦值；
（2）設(shè)M為線段A1C的中點(diǎn)，求證：在△ADE翻轉(zhuǎn)過(guò)程中，BM的長(zhǎng)度為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖在矩形ABCD中，AB=2+
3
，BC=1，E為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△AED沿AE折起，使點(diǎn)D在面ABC上的射影K在直線AE上，當(dāng)E從D運(yùn)動(dòng)到C，則K所形成軌跡的長(zhǎng)度為（　　）

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