Question

如圖，A，B是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)，M是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，已知橢圓的離心率為e，右準(zhǔn)線l的方程為x=m．
（1）若e=

1

2

，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AM交l于點(diǎn)P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過(guò)原點(diǎn)，求e．

Answer 1

分析：（1）由e=

1

2

，右準(zhǔn)線l的方程為x=4，建立方程組，求得幾何量，從而可求橢圓的方程；
（2）根據(jù)題意，可得A，M，P三點(diǎn)共線，MQ⊥PQ，由此可得幾何量之間的關(guān)系，從而可求離心率．

解答：解：（1）由題意：

c a = 1 2 a2 c =4 a2=b2+c2

，解得

a=2 b= 3

．∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．            …（6分）
（2）設(shè)M(x，y)，P(

a2

c

，β)，
∵A，M，P三點(diǎn)共線，∴

y

x+a

=

β

a2 c +a

，∴β=

y( a2 c +a)

x+a

，…（9分）
∴-1=kOPkBM=

cy( a2 c +a)

a2(x+a)

•

y

x-a

=

y2(a+c)

a(x2-a2)

=

b2(a+c)

-a3

=

(a2-c2)(a+c)

-a3

，
∴c²+ac-a²=0
∴e²+e-1=0，解得e=

5 -1

2

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．