Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 2a₁+3a₂=1，=9a₂a₆．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè) b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求使 ≥（7-2n）T_n恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由=9a₂a₆得=9
所以q²=．
由條件可知q＞0，故q=．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)式為a_n=；
（Ⅱ）b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-（1+2+…+n）=-
∴=-2（）
∴T_n=-2[（1-）+（-）+…+（）]=-；
（Ⅲ） ≥（7-2n）T_n等價(jià)于
化簡(jiǎn)得k≥恒成立
設(shè)d_n=，則d_n+1-d_n=-=．
當(dāng)n≥5，d_n+1≤d_n，{d_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，1≤n＜5，d_n+1＞d_n，{d_n}為單調(diào)遞增數(shù)列
當(dāng)n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列
∵=d₄＜d₅=，∴n=5時(shí)，d_n取得最大值為
∴使≥（7-2n）T_n（n∈N^*）恒成立的實(shí)數(shù)
分析：（I）先根據(jù)2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆求出等比數(shù)列的通項(xiàng)；
（Ⅱ）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和即可得到求的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）把 ≥（7-2n）T_n恒成立轉(zhuǎn)化為k≥恒成立，求出不等式右邊的最大值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合以及數(shù)列求和，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題目．