Question

20．下面四個(gè)圖案，都是由小正三角形構(gòu)成，設(shè)第n個(gè)圖形中所有小正三角形邊上黑點(diǎn)的總數(shù)為f（n）．

（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；
（2）找出f（n）與f（n+1）的關(guān)系，并求出f（n）的表達(dá)式；
（3）求證：$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）}$+$\frac{1}{f（3）}$+…+$\frac{1}{f（n）}$＜$\frac{2}{3}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）由圖分別求出f（2），f（3），f（4），f（5）．
（2）根據(jù)（1）的幾個(gè)數(shù)值，歸納出f（n）的表達(dá)式．
（3）利用歸納的f（n）的表達(dá)式，將數(shù)列進(jìn)行化簡(jiǎn)求和，然后利用歸納法證明不等式．

解答 解：（1）由題意有f（1）=3，
f（2）=f（1）+3+3×2=12，
f（3）=f（2）+3+3×4=27，
f（4）=f（3）+3+3×6=48，
f（5）=f（4）+3+3×8=75．
（2）由題意及（1）知，f（n+1）=f（n）+3+3×2n=f（n）+6n+3，
即f（n+1）-f（n）=6n+3，
所以f（2）-f（1）=6×1+3，
f（3）-f（2）=6×2+3，
f（4）-f（3）=6×3+3，
…
f（n）-f（n-1）=6（n-1）+3，
將上面（n-1）個(gè)式子相加，
得：f（n）-f（1）=6[1+2+3+…+（n-1）]+3（n-1）═3n²-3，
又f（1）=3，所以f（n）=3n²．  
$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）}$+$\frac{1}{f（3）}$+…+$\frac{1}{f（n）}$，
=$\frac{1}{3}$（1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$），
=$\frac{2}{3}$（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是歸納推理以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，綜合性較，強(qiáng)運(yùn)算量較大．