Question

（1）m為何值時(shí)，f（x）=x²+2mx+3m+4①有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；②有兩個(gè)零點(diǎn)且均比-1大；
（2）若函數(shù)f（x）=|4x-x²|+a有4個(gè)零點(diǎn)，求褸a取值范圍．

Answer 1

分析：（1）二次函數(shù)結(jié)合圖象求解，函數(shù)f（x）=x²+2mx+3m+4有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于△=4m²-4（3m+4）=0．
（2）利用函數(shù)圖象求解，g（x）=|4x-x²|和h（x）=-a的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，如圖所示．

解答：解：（1）①若函數(shù)f（x）=x²+2mx+3m+4有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
則等價(jià)于△=4m²-4（3m+4）=0，
即4m²-12m-16=0，即m²-3m-4=0，解得m=4或m=-1
②若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)且均比-1大，
結(jié)合二次函數(shù)圖象可知只需滿足

△=4m2-4(3m+4)＞0 - 2m 2 ＞-1 f(-1)＞0

等價(jià)于

m2-3m-4＞0 m＜1 1-2m+3m+4＞0

?

m＞4或m＜-1 m＜1 m＞-5

，
故-5＜m＜-1，∴m的取值范圍是{m|-5＜m＜-1}．
（2）若f（x）=|4x-x²|+a有4個(gè)零點(diǎn)，
即|4x-x²|+a=0有四個(gè)根，即|4x-x²|=-a有四個(gè)根，
令g（x）=|4x-x²|，h（x）=-a．則作出g（x）的圖象，
由圖象可知要使|4x-x²|=-a有四個(gè)根，則g（x）與h（x）的圖象應(yīng)有4個(gè)交點(diǎn)．
故需滿足0＜-a＜4，即-4＜a＜0．∴a的取值范圍是（-4，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)零點(diǎn)，零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．