Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

3x+1

（a∈R），g（x）=m•3^x-f（x）．（m∈R）
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）當(dāng)m=-2時，g（x）≤0在[1，3]上恒成立，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)m≤

1

2

時，證明函數(shù)g（x）在（-∞，0]上至多有一個零點．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于函數(shù)是奇函數(shù)，且在x=0處有定義，所以f（0）=0．
（2）利用函數(shù)的性質(zhì)說明函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，進(jìn)一步利用恒成立問題求出函數(shù)中參數(shù)的取值范圍．
（3）利用恒等變換，根據(jù)定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，最后說明函數(shù)的交點問題．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）=a-

2

3x+1

是奇函數(shù)，則：f（-x）+f（x）=0
所以：a-

2

3-x+1

+a-

2

3x+1

=0
整理得：a=1
（2）解：m=-2，所以：g（x）=m•3^x-f（x）=-2•3x-a+

2

3x+1

由于y=3^x在[1，3]上是單調(diào)遞增函數(shù)．
所以：-2•3x和

2

3x+1

在[1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)．
g（x）≤0在[1，3]上恒成立，只需g（x）_max=g（1）≤0即可．
即g（1）=-

11

2

-a≤0
解得：a≥-

11

2

（3）設(shè)x₁＜x₂≤0
則：g（x₁）-g（x₂）=m•3x1-a+

2

3x1+1

-（m•3x2-a+

2

3x2+1

）
=m(3x1-3x2)+2•

3x2-3x1

(3x1+1)(3x2+1)

=(3x1-3x2)[

m(3x1+x2+3x1+3x2+1)-2

(3x1+1)(3x2+1)

]
由于x₁＜x₂≤0
所以：x₁+x₂＜0，0＜3x1＜3x2＜1
3x1+x2＜1
3x1+x2+3x1+3x2+1＜4
又m≤

1

2

m（3x1+x2+3x1+3x2+1）＜2
所以：m(3x1+x2+3x1+3x2+1)-2＜0
所以：g（x₁）-g（x₂）＞0
當(dāng)m≤

1

2

時，函數(shù)g（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)．
所以：當(dāng)m≤

1

2

時，函數(shù)g（x）在（-∞，0]上至多有一個零點．

點評：本題考查的知識要點：奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，恒成立問題的應(yīng)用，利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性．屬于基礎(chǔ)題型．