Question

比較2ⁿ與n²的大小(n∈N⁺)．

Answer 1

答案：
解析：

解析：當n＝1時，21＞12， 　　當n＝2時，22＝22，當n＝3時，23＜32， 　　當n＝4時，24＝42，當n＝5時，25＞52， 　　猜想：當n≥5時，2n＞n2 　　下面用數(shù)學歸納法證明： 　　(1)當n＝5時，25＞52成立， 　　(2)假設n＝k(k∈N*，k≥5)時2k＞k2， 　　那么2k+1＝2·2k＝2k＋2k＞k2＋(1＋1)k＞k2＋＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2． 　　∴當n＝k＋1時，2n＞n2． 　　由(1)(2)可知，對n≥5的一切自然數(shù)2n＞n2都成立． 　　綜上，得當n＝1或n≥5時，2n＞n2；當n＝2，4時，2n＝n2；當n＝3時，2n＜n2．