Question

已知等差數(shù)列{a_n²}中，首項a₁²=1，公差d=1，a_n＞0，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n；
①求T₁₂₀；
②求證：當n＞3時，＞T_n+．

Answer 1

解：（1）∵{a_n²}是等差數(shù)列，等差d=1，首項a₁²=1，
∴a_n²=1+（n-1）×1=n，
又a_n＞0，
∴a_n=；
（2）①∵b_n===-，
∴T₁₂₀=（-1+（-）+…+（-）=-1=10．
②∵，要證當n＞3時，＞T_n+
即證，即證2ⁿ＞2n+2，
因為n＞3時，2ⁿ=（1+1）ⁿ=
＞=2n+2，
∴當n＞3時，＞T_n+
分析：（1）由等差數(shù)列{a_n²}的首項a₁²和公差d，利用等差數(shù)列的通項公式求出{a_n²}的通項公式，然后根據(jù)a_n大于0，開方可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把（1）求得{a_n}的通項公式代入b_n=中，分母有理化化簡后即可得到數(shù)列{b_n}的通項公式，然后列舉出數(shù)列{b_n}的前120項的和，抵消化簡可得值．
點評：此題考查學生靈活運用等差數(shù)列的通項公式化簡求值，會進行數(shù)列的求和運算，是一道中檔題．