Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n+2n=2a_n
（1）證明：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列．并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+2），設(shè)T_n是數(shù)列的前n項(xiàng)和．求證：．

Answer 1

證明：（1）由S_n+2n=2a_n得 S_n=2a_n-2n
當(dāng)n∈N^*時(shí)，S_n=2a_n-2n，①
當(dāng)n=1 時(shí)，S₁=2a₁-2，則a₁=2，
則當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴，
∴{a_n+2}是以a₁+2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n+2=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）證明：由b_n=log₂（a_n+2）==n+1，
得，
則，③
④
③-④，得
=
=
=，
所以 ．
分析：（1）由S_n+2n=2a_n，知S_n=2a_n-2n．當(dāng)n=1 時(shí)，S₁=2a₁-2，則a₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），故a_n=2a_n-1+2，由此能夠證明數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列．并能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
（2）由b_n=log₂（a_n+2）==n+1，得，故，由此利用錯(cuò)位相減法能夠求出T_n，并證明．
點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明和求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．