Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），已知f（1）=1，f（-1）=0，并且對任意x∈R，均有f（x）≥x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)F(x)=

f(x) ，0≤x≤1 - f(x) ，-1≤x＜0

，解不等式F（x）＞F（-x）+2x．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得a-b+c=0，a+b+c=1，兩式相減可得b=

1

2

，相加可得a+c=

1

2

，再由對任意x∈R，均有f（x）≥x可得ac≥

1

16

，由基本不等式等號成立的條件可得ac的關(guān)系式，解方程組可得a和c，可得解析式；（2）由（1）可得F（x）=

1 2 (x+1)，0≤x≤1 - 1 2 (x+1)，-1≤x＜0

，分類討論可化為不等式組，解不等式組可得．

解答： 解：（1）由f（-1）=0，f（1）=1可得a-b+c=0，a+b+c=1，
兩式相減可得b=

1

2

，相加可得a+c=

1

2

∴f（x）=ax²+

1

2

x+c，
∵對任意x∈R，均有f（x）≥x．
∴f（x）-x≥0 即 ax²-

1

2

x+c≥0恒成立
∴△=

1

4

-4ac≤0，∴ac≥

1

16

，
由基本不等式可得ac≤(

a+c

2

)2=

1

16

∴ac=

1

16

，∴a=c=

1

4

∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

；
（2）由（1）可知f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）²，
∴F(x)=

1 2 |x+1|，0≤x≤1 - 1 2 |x+1|，-1≤x＜0

=

1 2 (x+1)，0≤x≤1 - 1 2 (x+1)，-1≤x＜0

，
當(dāng)0≤x≤1時，不等式F（x）＞F（-x）+2x可化為

1

2

（x+1）＞-

1

2

（x+1）+2x，
解得x＜1，結(jié)合0≤x≤1可得0≤x≤1，故解集為{x|0≤x≤1}；
當(dāng)-1≤x≤0時，不等式F（x）＞F（-x）+2x可化為-

1

2

（x+1）＞

1

2

（x+1）+2x，
解得x＜-

1

3

，結(jié)合-1≤x≤0可得-1≤x＜-

1

3

，故解集為{x|-1≤x＜-

1

3

}；

點(diǎn)評：本題考查不等式的解法，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和分類討論的思想，屬中檔題．