設(shè)關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)f（n）=1•22+2•32+…n（n+1）2
（1）求f（1），f（2），f（3）；
（2）是否存在常數(shù)a，b，c使得f（n）=
n(n+1)12
(an2+bn+c)對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論．
分析：（1）由f（n）=1•22+2•32+…n（n+1）2即可求得f（1），f（2），f（3）；
（2）假設(shè)存在常數(shù)a，b，c使得f（n）=
n(n+1)
12
(an2+bn+c)對一切自然數(shù)n都成立，由f（1），f（2），f（3）的值可求得a，b，c；再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
解答：解：（1）∵f（n）=1•22+2•32+…n（n+1）2，
∴f（1）=1•22=4，
f（2）=1•22+2•32=22，
f（3）1•22+2•32+3•42=70；
（2）假設(shè)存在常數(shù)a，b，c使得f（n）=
n(n+1)
12
(an2+bn+c)對一切自然數(shù)n都成立，
則f（1）=
1×2
12
（a+b+c）=4，
∴a+b+c=24①，
同理，由f（2）=22得4a+2b+c=44②，
由f（3）=70得9a+3b+c=70③
聯(lián)立①②③，解得a=3，b=11，c=10．
∴f（n）=
n(n+1)
12
（3n2+11n+10）．
證明：1°當(dāng)n=1時，顯然成立；
2°假設(shè)n=k時，f（k）=
k(k+1)
12
（3k2+11k+10）=
k(k+1)(k+2)(3k+5)
12
，
則n=k+1時，f（k+1）=f（k）+（k+1）[（k+1）+1]2
=
k(k+1)(k+2)(3k+5)
12
+（k+1）[（k+1）+1]2
=
(k+1)(k+2)
12
（3k2+17k+24）
=
(k+1)(k+2)(k+3)(3k+8)
12

=
(k+1)[(k+1)+1][(k+2)+1][3(k+1)+5]
12
，
即n=k+1時，結(jié)論也成立．
綜合1°，2°知，存在常數(shù)a=3，b=11，c=10使得f（n）=
n(n+1)
12
（3n2+11n+10）對一切自然數(shù)n都成立．
點評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，求得a，b，c的值是關(guān)鍵，考查分析、運算及推理證明的能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)fn(x)=1-x+
x2
2
-
x3
3
+…+(-1)n
xn
n
，n∈N*．
（Ⅰ）試確定f3（x）和f4（x）的單調(diào)區(qū)間及相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性；
（Ⅱ）說明方程f4（x）=0是否有解，并且對正整數(shù)n，給出關(guān)于x的方程fn（x）=0的解的一個一般結(jié)論，并加以證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)Sn是數(shù)列{}的前n項的和,是否存在關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)f(n),使S1+S2+…+Sn-1=f(n)［Sn-1］對于大于1的正整數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

.（本小題滿分14分）已知函數(shù).(1) 試證函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱;(2) 若數(shù)列的通項公式為, 求數(shù)列的前m項和(3) 設(shè)數(shù)列滿足: , . 設(shè).

若(2)中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)n, 恒成立, 試求m的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)f（n）=1•22+2•32+…n（n+1）2
（1）求f（1），f（2），f（3）；
（2）是否存在常數(shù)a，b，c使得f（n）=數(shù)學(xué)公式對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案