Question

4．如圖所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2正三角形，D是A₁C₁的中點，且AA₁⊥平面ABC，AA₁=3．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面B₁DC；
（Ⅱ）求二面角D-B₁C-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結BC₁，B₁C，交于點O，連結OD，則OD∥A₁B，由此能證明A₁B∥平面B₁DC．
（2）以D為原點，DC₁為x軸，DB₁為y軸，過D作平面A₁B₁C₁的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D-B₁C-C₁的余弦值．

解答 證明：（1）連結BC₁，B₁C，交于點O，連結OD，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2正三角形，D是A₁C₁的中點，
∴OD∥A₁B，
∵A₁B?平面B₁DC，OD?平面B₁DC，
∴A₁B∥平面B₁DC．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2正三角形，D是A₁C₁的中點，且AA₁⊥平面ABC，AA₁=3．
∴以D為原點，DC₁為x軸，DB₁為y軸，過D作平面A₁B₁C₁的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），B₁（0，$\sqrt{3}$，0），C（1，0，3），C₁（1，0，0），
$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，-3），$\overrightarrow{CD}$=（-1，0，-3），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，0，-3），
設平面B₁DC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=-x+\sqrt{3}y-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-x-3z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-3，0，1），
設平面B₁CC₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=-a+\sqrt{3}b-3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=-3c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，0$），
設二面角D-B₁C-C₁的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{10}•\sqrt{4}}$=$\frac{3\sqrt{30}}{20}$．
∴二面角D-B₁C-C₁的余弦值為$\frac{{3\sqrt{30}}}{20}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．