Question

8．正方體中，E，F(xiàn)，G分別是A′D′、B′C′、D′C′的中點(diǎn)．
（1）求直線BA′和CC′所成的角的大��；
（2）求直線EG和BD′所成的角的大��；
（3）證明：四邊形ABFE為平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）由CC′∥BB′，得∠A′BB′是直線BA′和CC′所成的角，由此能求出直線BA′和CC′所成的角的大�。�
（2）由已知得A′C′⊥平面BD′B′，EG∥A′C′，由此能求出直線EG和BD′所成的角的大�。�
（3）由已知得EF$\underset{∥}{=}$AB，由此能證明四邊形ABFE為平行四邊形．

解答 （1）解：∵CC′∥BB′，
∴∠A′BB′是直線BA′和CC′所成的角，
∵A′B′=BB′，且A′B′⊥BB′，
∴∠A′BB′=$\frac{π}{4}$，
∴直線BA′和CC′所成的角的大小為$\frac{π}{4}$．
（2）解：∵A′C′⊥B′D′，A′C′⊥BB′，B′D′∩BB′=B′，
∴A′C′⊥平面BD′B′，
∵E，F(xiàn)，G分別是A′D′、B′C′、D′C′的中點(diǎn)，
∴EG∥A′C′，∴EG⊥平面BD′B′，
∵BD′?平面BD′B′，∴EG⊥BD′，
∴直線EG和BD′所成的角的大小為$\frac{π}{2}$．
（3）證明：∵E，F(xiàn)，G分別是A′D′、B′C′、D′C′的中點(diǎn)，
∴EF$\underset{∥}{=}$A′B′，
又AB$\underset{∥}{=}$A′B′，∴EF$\underset{∥}{=}$AB，
∴四邊形ABFE為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成的角的大小的求法，考查四邊形為平行四邊形的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．