橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c，0)(c＞0)的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|＝2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)．

(1)求橢圓的方程及離心率；

(2)若·＝0，求直線PQ的方程．

答案：
解析：

　　解：(1)由題意，可設(shè)橢圓的方程為＝1(a＞)，

　　由已知得解之，得a＝，c＝2．

　　所以橢圓的方程為＝1，離心率e＝．

　　(2)由(1)可得A(3，0)，直線PQ的斜率顯然存在．

　　設(shè)直線PQ的方程為y＝k(x－3)，

　　由方程組

　　得(3k2＋1)x2－18k2x＋27k2－6＝0．

　　依題意，Δ＝12(2－3k2)＞0，得＜k＜．

　　設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝，①

　　x1x2＝．②

　　由直線PQ的方程得y1＝k(x1－3)，y2＝k(x2－3)，

　　于是y1y2＝k2(x1－3)(x2－3)＝k2[x1x2－3(x1＋x2)＋9]．③

　　∵·＝0，

　　∴x1x2＋y1y2＝0．④

　　由①②③④得5k2＝1，從而k＝±∈(－，)．

　　所以直線PQ的方程為x－y－3＝0或x＋y－3＝0．


提示：

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是確定焦點(diǎn)位置，常量a，b，c的值．而第(2)問屬于直線與橢圓的綜合題．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為2
2
，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（c＞0）的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若
OP
•
OQ
=0，求直線PQ的方程；
（3）設(shè)
AP
=λ
AQ
（λ＞1），過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線l的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明
FM
=-λ
FQ
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為2
2
，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（c＞0）的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若
OP
•
OQ
=0，求直線PQ的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓的中心是原點(diǎn)O，短軸長為2
3
，左焦點(diǎn)為F（-c，0）（c＞0），相應(yīng)的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A，且點(diǎn)F分
AO
的比為3，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若PF⊥QF，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）設(shè)
AQ
=λ
AP
（λ＞1），點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q′，求證：
FQ′
=-λ
FP
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•煙臺二模）已知橢圓的中心是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，過其右焦點(diǎn)F作斜率為1的直線l交橢圓于A．B兩點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)C，使四邊形OACB為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△OAC的面積為15
5
，求這個橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1 2.2橢圓練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn) .

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若，求直線PQ的方程；

（3）設(shè)（），過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明.

 

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