Question

已知平面內(nèi)兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)M（2+5cosθ，5sinθ），，過(guò)N作圓C：（x-2）²+y²=4的兩條切線NE，NF，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則的最小值為_(kāi)_______．

Answer 1

6
分析：有點(diǎn)M的坐標(biāo)可知點(diǎn)M在以（2，0）為圓心，半徑為5的大圓上，給出的圓C和點(diǎn)M的軌跡是同心圓，由可知N的軌跡是圓心在M的軌跡上，半徑為1的圓，畫出圖形后，利用對(duì)稱性取N的軌跡與x軸的左交點(diǎn)，分析得到N取該點(diǎn)時(shí)能使的值最�。�
解答：解：設(shè)M（x，y），由M（2+5cosθ，5sinθ），所以，
整理得：（x-2）²+y²=25．故點(diǎn)M在一個(gè)圓心為（2，0），半徑為5的大圓上，這個(gè)大圓與圓C：（x-2）²+y²=4是同心圓．
又點(diǎn)N滿足，所以點(diǎn)N的軌跡為（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1．
基于對(duì)稱性，我們?nèi)∫粋�(gè)較為方便的位置進(jìn)行研究．如圖，
取θ=0，此時(shí)圓N的圓心為（7，0），于是N點(diǎn)在（x-7）²+y²=1的小圓上，這個(gè)小圓與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，左邊的交點(diǎn)N₁（6，0）；右邊的交點(diǎn)N₂（8，0）．因?yàn)镹₁離圓C最近，因此切線最短，兩條切線的夾角α最大，且α是銳角，cosα是減函數(shù)，因此由N₁作出的兩條切線向量的模最小，cosα的值最小，故數(shù)量積必是最�。�
在RT△CEN₁中，CN₁=4，CE=2，故，cos=，
．
∴的最小值為．
故答案為6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了圓的參數(shù)方程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想，解答此題的關(guān)鍵是讀懂題目意思，屬中檔題．