Question

已知曲線C的參數(shù)方程為

x=2+cosθ y=1+sinθ

（θ∈[0，π]），且點(diǎn)P（x，y）在曲線C上，則

y+x-1

x

的取值范圍是（　�。�

• A．[0，

  3

  3

  ]
• B．[1，1+

  3

  2

  ]
• C．[1，

  4

  3

  ]
• D．[1，

  3+ 3

  3

  ]

Answer 1

分析：由題意得曲線C是半圓，借助已知?jiǎng)狱c(diǎn)在單位圓上任意動(dòng)，而所求式子

y+x-1

x

=1+

y-1

x

，

y-1

x

的形式可以聯(lián)想成在單位圓上動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)C（0，1）構(gòu)成的直線的斜率，進(jìn)而求解．

解答：解：∵

x=2+cosθ y=1+sinθ

即

x-2=cosθ y-1=sinθ

∴（x-2）²+（y-1）²=1，其中y∈[1，2]
由題意作出如下圖形，

y+x-1

x

=1+

y-1

x

，
令k=

y-1

x

，則k可看作圓（x-2）²+y²=1上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)C（0，1）的連線的斜率而相切時(shí)的斜率，
由于此時(shí)直線與圓相切，
在直角三角形ACB中，∠ACB=30°，⇒k=

3

3

由圖形知，k的取值范圍是[0，

3

3

]．
則

y+x-1

x

的取值范圍是[1，1+

3

3

]．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了已知兩點(diǎn)坐標(biāo)寫斜率，及直線與圓的相切與相交的關(guān)系，還考查了利用幾何思想解決代數(shù)式子的等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想．