Question

15．已知圓O：x²+y²=1和定點(diǎn)P（4，3），圓外一點(diǎn)M作圓的切線MN，N為切點(diǎn)，且|MN|=|MP|
（1）求|MN|的最小值；
（2）以M為圓心，r為半徑的圓與圓O：x²+y²=1有公共點(diǎn)，求r最小時(shí)圓M的方程．

Answer 1

分析 （1）連接ON、OM，則△ONM為直角三角形，利用||MN|=|MP|，求M點(diǎn)的軌跡方程；表示出|MN|，利用配方法求|MN|的最小值；
（2）以M為圓心的圓與圓O有公共點(diǎn)，半徑最小時(shí)為與圓O相切的情形，而這些半徑的最小值為圓O到直線l的距離減去圓O的半徑，即可求出半徑最小的圓的方程．

解答 解�。�1）連接ON、OM，則△ONM為直角三角形，
又||MN|=|MP|
所以|OM|²=|ON|²+|MN|²=1+|MP|²，
所以a²+b²=1+（a-4）²+（b-3）²，故M的軌跡方程是4x+3y-13=0．
由|MN|²=|OM|²-1=a²+b²-1=a²+（-$\frac{4}{3}$a+$\frac{13}{3}$）²-1=5a²-12a+8=$\frac{25}{9}$（a-$\frac{52}{25}$）²+$\frac{169}{25}$，
得|MN|_min=$\frac{13}{5}$．
（3）以M為圓心的圓與圓O有公共點(diǎn)，半徑最小時(shí)為與圓O相切的情形，而這些半徑的最小值為圓O到直線l的距離減去圓O的半徑，圓心M為過(guò)原點(diǎn)且與l垂直的直線l′與l的交點(diǎn)P₀，所以r=$\frac{13}{5}$-1=$\frac{8}{5}$，
又l′：3x-4y=0，聯(lián)立l：4x+3y-13=0得P₀（$\frac{52}{25}$，$\frac{39}{25}$）．
所以所求圓的方程為（x-$\frac{52}{25}$）²+（y-$\frac{39}{25}$）²=（$\frac{8}{5}$）²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．