Question

5．已知過橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的下焦點F的直線l的方程為y=-$\sqrt{2}$．
（1）若直線l是頂點在原點的拋物線的準線，求該拋物線的標準方程；
（2）若直線l和橢圓相交所得弦長為2，求橢圓方程．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點坐標，利用定義寫出拋物線方程即可．
（2）求出橢圓的幾何量，然后求解橢圓的方程．

解答 解：（1）直線l：y=-$\sqrt{2}$是頂點在原點的拋物線的準線，
可得拋物線的焦點坐標（0，$\sqrt{2}$），p=2$\sqrt{2}$．
該拋物線的標準方程為：x²=8$\sqrt{2}y$．
（2）過橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的下焦點F的直線l的方程為y=-$\sqrt{2}$．
可得c=$\sqrt{2}$，直線l和橢圓相交所得弦長為2，可得橢圓經(jīng)過（1，$-\sqrt{2}$）．
可得：$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，a²=b²+2，解得a²=4，b²=2．
則橢圓方程：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)以及橢圓的簡單性質(zhì)的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．