Question

（本小題滿分12分）

如圖，已知正三棱柱的各棱長都是4，是的中點，動點在側(cè)棱上，且不與點重合．

（Ⅰ）當(dāng)=1時，求證：⊥；

（Ⅱ）設(shè)二面角的大小為，求的最小值．

Answer 1

本小題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。（滿分12分）

    解法1：過E作于N，連結(jié)EF。

   （I）如圖1，連結(jié)NF、AC₁，由直棱柱的性質(zhì)知，

    底面ABC側(cè)面A₁C。

    又度面側(cè)面A，C=AC，且底面ABC，

    所以側(cè)面A₁C，NF為EF在側(cè)面A₁C內(nèi)的射影，

在中，=1，

則由，得NF//AC₁，

又故。

由三垂線定理知

（II）如圖2，連結(jié)AF，過N作于M，連結(jié)ME。

由（I）知側(cè)面A₁C，根據(jù)三垂線定理得

所以是二面角C—AF—E的平面角，即，

設(shè)

在中，

在

故

又

故當(dāng)時，達(dá)到最小值；

，此時F與C₁重合。

解法2：（I）建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得

于是

則

故

（II）設(shè)，

平面AEF的一個法向量為，

則由（I）得F（0，4，）

，于是由可得

取

    又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面AC₁的一個法向量為，

    于是由為銳角可得，

    所以，

    由，得，即

    故當(dāng)，即點F與點C₁重合時，取得最小值