Question

已知函數(shù)f（x）=cos（+x）cos（-x），g（x）=sin2x-
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）對于求函數(shù)f（x）的最小正周期，可以先將函數(shù)按照兩角和，兩角差的余弦公式展開后，再利用降冪公式化成一個角一個函數(shù)的形式后，用公式T=周期即可求出．
（Ⅱ）對于函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），把f（x）與g（x）解析式代入后，依照兩角和余弦公式的逆用化成一個角一個函數(shù)為h（x）=cos（2x+），由于定義域為全體實數(shù)R，故易知最值為，而此時角2x+應(yīng)為x軸正半軸的所有角的取值，即2x+=2kπ，k∈Z．由此確定角x的取值幾何即可．
解答：解：（1）f（x）=cos（+x）cos（-x）=（cosx-sinx）（cosx+sinx）=cos²x-=-=cos2x-，
∴f（x）的最小正周期為=π
（2）h（x）=f（x）-g（x）=cos2x-sin2x=（cos2x-sin2x）=（coscox2x-sinsin2x）=cos（2x+）
∴當(dāng)2x+=2kπ，k∈Z，即x=kπ-，k∈Z時，h（x）取得最大值，且此時x取值集合為{x|x=kπ-，k∈Z}
點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的周期和最值問題，并兼顧檢測了學(xué)生對兩角和，差的正余弦公式和降冪公式等，屬于三角函數(shù)的綜合性問題．而解決有關(guān)復(fù)合角三角函數(shù)問題的關(guān)鍵還是在于對三角函數(shù)性質(zhì)的掌握，本題難度系數(shù)0.6