Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，若na_n+1=S_n+n（n+1）且a₁=2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令T_n=

Sn

2n

，①當(dāng)n為何值時(shí)，T_n＞T_n+1，②若對(duì)一切正整數(shù)n，總有T_n≤m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中：
（1）首先利用條件和通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系即可轉(zhuǎn)化出數(shù)列a_n的通項(xiàng)之間的關(guān)系，進(jìn)而即可獲得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）首先利用第（1）問的結(jié)論即可將T_n化簡(jiǎn)，再利用數(shù)學(xué)歸納法判斷T_n的單調(diào)性，由單調(diào)性即可獲得①的解答，進(jìn)而由單調(diào)性即可獲得的最大值從而可以結(jié)合②中的恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）由題意可知：na_n+1=S_n+n（n+1）
∴（n-1）a_n=S_n-1+（n-1）n
兩式相減可得：a_n+1-a_n=2
所以數(shù)列{a_n}為以2為首項(xiàng)以2為公差的等差數(shù)列．
∴a_n=2+（n-1）•2=2n
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：a_n=2n，n∈N*
（2）由（1）知：Sn=

n(2+2n)

2

=n2+n
∴Tn=

Sn

2n

=

n2+n

2n

，
∴T1=

2

2

=1
T2=

6

4

=

3

2

T3=

9+3

8

=

3

2

T4=

16+4

16

=

5

4

T5=

25+5

32

=

15

16

…
可猜測(cè)當(dāng)n≥3時(shí)，數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)n≤2時(shí)，數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列．
對(duì)“當(dāng)n≥3時(shí)，數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞減數(shù)列”證明如下：
當(dāng)n=3時(shí)，T3=

9+3

8

=

3

2

 
當(dāng)n=4時(shí)，T4=

16+4

16

=

5

4

，∴T₄＜T₃
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即T_k＜T_k-1，∴

(k-1)2+k-1

2k-1

＞

k2+k

2k

則當(dāng)n=k+1時(shí)，Tk+1= 

(k+1)2+k+1

2k+1

=

1

2

•

(k2+k)+2k+2

2k

＜

1

2

• (

(k-1)2+k-1

2k-1

+

2k+2

2k

)
=

k2+1

2k

＜

k2+k

2k

故當(dāng)n=k+1時(shí)猜測(cè)成立．綜上可知：當(dāng)n≥3時(shí)，數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)n≤2時(shí)，數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列．
又因?yàn)椋簩?duì)一切正整數(shù)n，總有T_n≤m，且T_n的最大值為

3

2

，所以m≥

3

2

．
∴當(dāng)n≥3時(shí)，T_n＞T_n+1，
m的取值范圍為：m≥

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了數(shù)列通項(xiàng)與數(shù)列前n項(xiàng)和的知識(shí)、數(shù)列與函數(shù)的思想、單調(diào)性的研究以及恒成立問題的解答規(guī)律．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．